قواعد عامة في التحويل بين الأنظمة العددية

قواعد عامة في التحويل بين الأنظمة العددية




أولاً: التحويل إلى النظام العشري من أي نظام عددي آخر
للتحويل من أي نظام عددي إلى النظام عشري سواء كان العدد صحيح أو كسري، نستخدم القاعدة التالية:

a_n × Rⁿ + a_n-1 × R^n-1 + ... + a₂ × R² + a₁ R¹ + a₀ × R⁰ + a_-1 × R^-1 + a_-2 × R^-2 + ... + a _-m × R^-m
حيث:
R: هي أساس النظام المراد التحويل منه إلى النظام العشري (النظام الثنائي
الأساس هو العدد 2، النظام الثماني الأساس هو 8، النظام السادس عشري
الأساس هو 16... وهكذا).
a: هي معاملات العدد المراد تحويله. أي عدد حقيقي يتكون من مجموعة من المعاملات كما يلي:

a_na_n-1...a₂a₁a₀.a_-1a_-2...a_-m
n,n-1,...,2,1,0,-1,-2,...,-m: تمثل ترتيب معاملات العدد، حيث n و m هي أعداد صحيحة.
مثال 1: حوّل الأعداد التالية إلى مكافئها في النظام العشري:
1. ₂(101101.011)
2. ₁₆(5AC)
3. ₅(43.21)
الحل:
1. الأساس R = 2.
₂(101101.011) = 1 × 2⁵ + 0 × 2⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ + 0 × 2^-1 + 1 × 2^-2 + 1 × 2^-3
= 1 × 32 + 0 + 1 × 8 + 1 × 4 + 0 + 1 × 1 + 0 + 1 × 1/4 + 1 × 1/8
= 32 + 8 + 4 + 1 + 0.25 + 0.125 = ₁₀(45.375)
2. الأساس R = 16
₁₆(5AC) = 5 × 16² + A × 16¹ + C × 16⁰
= 5 × 256 + 10 × 16 + 12 × 1
= 1280 + 160 + 12 = ₁₀(1452)
3. الأساس R = 5
₅(43.21) = 4 × 5¹ + 3 × 5⁰ + 2 × 5^-1 + 1 × 5^-2
= 4 × 5 + 3 × 1 + 2 × 1/5 + 1 × 1/25
= 20 + 3 + 0.4 + 0.04 = ₁₀(23.44)
ثانياً: التحويل من النظام العشري إلى أي نظام عددي
1. تحويل الأعداد الصحيحة
لتحويل الأعداد الصحيحة في النظام العشري إلى مكافئاتها في الأنظمة
العددية الأخرى نتبع الخطوات التالية، مع مراعاة أن R هي أساس النظام
المراد التحويل إليه:

1. يتم قسمة العدد في النظام العشري على الأساس R، وأخذ الباقي الناتج من عملية القسمة والذي يتراوح ما بين (0 إلى R-1).
   
2. نكرر عملية القسمة على العدد الناتج من عملية القسمة في الخطوة السابقة وأخذ الباقي في كل مرة حتى يصبح ناتج القسمة يساوي صفر.
   
3. يتم كتابة البواقي الناتجة من الخطوتين السابقتين من أسفل إلى أعلى وكتابتها من اليسار إلى اليمين.
   

مثال 2: حوّل العدد ₁₀(94) إلى مكافئه: الثنائي، السادس عشري، والثماني.
الحل:
1. نقوم بالقسمة على الأساس R = 2
94 ÷ 2 = 47 و الباقي 0
47 ÷ 2 = 23 و الباقي 1
23 ÷ 2 = 11 و الباقي 1
11 ÷ 2 = 5 والباقي 1
5 ÷ 2 = 2 و الباقي 1
2÷ 2 = 1 والباقي 0
1 ÷ 2 = 0 والباقي 1
₁₀(94) = ₂(0111101)

2. بالقسمة على الأساس R = 16
94 ÷ 16 = 5 والباقي 14 (14 = E)
5 ÷ 16 = 0 والباقي 5
₁₀(94) = ₁₆(E5)

3. نقسم على R = 8
94 ÷ 8 = 11 والباقي 6
11 ÷ 8 = 1 والباقي 3
1 ÷ 8 = 0 والباقي 1
₁₀(94) = ₈(631)
2. تحويل الكسور
لتحويل الكسر من النظام العشري إلى مكافئه في أي نظام عددي آخر، نتبع
الخطوات التالية، مع مراعاة أن R هي أساس النظام المراد التحويل إليه:

1. نضرب الكسر المراد تحويله بالأساس R للنظام المراد التحويل إليه.
   
2. نأخذ العدد الصحيح الناتج من عملية الضرب والذي يتراوح ما بين (0 إلى R-1).
   
3. نقوم
   بضرب الكسر فقط الناتج من عملية الضرب السابقة بالأساس R مرة أخرى ونكرر
   الخطوة رقم 2 حتى يصبح الكسر الناتج من عملية الضرب يساوي صفر في حالة
   الكسور المنتهية. وفي حالة الكسور غير المنتهية (مثل الكسور الدورية)،
   نستمر بعملية الضرب وأخذ الأعداد الصحيحة الناتجة حتى نصل إلى دقة كافية.
   

مثال 3: حول الكسر 10(0.6875) إلى مكافئه: الثنائي، السادس عشري
الحل:
1. بالضرب بالأساس R = 2:
0.6875 × 2 = 1.375، الكسر = 0.375، العدد الصحيح = 1
0.375 × 2 = 0.75، الكسر = 0.75، العدد الصحيح = 0
0.75 × 2 = 1.5، الكسر = 0.5، العدد الصحيح = 1
0.5 × 2 = 1.0، الكسر = 0، العدد الصحيح = 1
₁₀(0.6875) = ₂(0.1011)
2. بالضرب بالأساس R = 16:
0.6875 × 16 = 11.0، الكسر = 0، العدد الصحيح = 11 (11 = B)
₁₀(0.6875) = ₁₆(0.B)
3. تحويل الأعداد الكسرية
لتحويل الأعداد الكسرية، يتم تحويل كل جزء على حدة (العدد الصحيح، والكسر) بالطرق السابقة ومن ثم دمج التحويلان الناتجان معاً.

مشكوره يا احلى ست امتثال وكل عام وانت بالف خير

يسلمووو ست امتثال على الشرح

شكرااااااا ماما

على الموضوع