اللوغريتمات في الرياضيات

الدالة اللوغاريتميه

إذا كان أ ينتمي إلي إلي ح+ – {1} فإن س = لـــــوأ ص يؤدي الي ص = (أ) ^س
• لـــــوأ ص تقرأ لوغاريتم ص لأساس أ
• الدالة اللوغاريتميه هى الدالة العكسية للدالة الآسية
• س ينتمي إلي إلي ح
• ص ينتمي إلي إلي ح+
مثال (1)
إذا كانت س = لــــــــــــو5 125 اوجد قيمة س ؟
الحل
5 س = 125
5 س = 5^3
س = 3
مثال (2)
اوجد قيمة س إذا كان
1) لــــــــو2 س = ــ 4
2 ) لـــــــــو س 8 = 6
3 ) لــــــــو9 81 3 = س
3 ) لـــــــــو س 7س = 2
الحل
1) س = (2)^-4 = 1/16
2) لــــــــو س 8 = 6
س6 = 8 = (2) 3 = ( جذر 2 )6
س = جذر 2
3 ) لـــــــــوس 7س = 2
س 2 = 7 س
س2 – 7س = 0
س ( س – 7 ) = 0
س = 0 & س = 7
4) لــــــــــو9 81 جذر 3 = س
يؤدي 9^س = 81 جذر 3
(3)4 × جذر 3 = 9 ^س
( جذر 3 ) 9 = ( جذر3 )4س
4 س = 9
س =9/4
صَبْراً جَمِيلاً ما أقربَ الفَرَجَا0000000000000000 من رَاقَبَ اللَّهَ فِي الأمورِ نَجَا
منْ صدق الله لم ينلهُ أذى000000000000000000 ومن رجَاهُ يكونُ حيثُ رَجَا

مثال (3)
اوجد قيمة كل من
1) لــــــــــــو 2 64
2) لـــــــــــو3 243
3) لـــــــــو 5 125
4) لـــــــــــــــو7 7
الحل
1) نفرض أن س = لـــــــــــو2 64
2س = 64 = 2 6
س = 6
لـــــــــــو2 64 = 6
2) نفرض أن س = لـــــــــــو3 243
3س = 243 = 3 5
س = 5
لـــــــــــو3 243 = 5
3) نفرض أن س = لـــــــــــو5 125
5س = 125 = 5 3
س = 3
لـــــــــــو5 125 = 3
4) نفرض أن س = لـــــــــــو7 7
7س = 7 = 7 1
س = 1
لـــــــــــو7 7 = 1


قوانين اللوغاريتمات

• لــــــــــــو م س + لــــــــــو م ص = لـــــــــــــو م س × ص
• لــــــــــــو م س – لـــــــــــو م ص = لـــــــــــــو م س/ص
• لــــــــــــو م س ^ن = ن لــــــــــــو م س
• لــــــــــــو س س = 1
• لــــــــــــو م 1 = صفر
مثال (1)
بدون استخدام الآلة اثبت أن 2 لــــــــو 2 14 – 4 لــــــو 2 5 + 2 لــــــو 2 25/7= 2
الحل
الأيمن = 2 لــــــــو 2 14 – 4 لــــــو 2 5 + 2 لــــــو 2 25/7
= لــــــــو 2( 14)^ 2 – لـــــــو 2( 5)^ 4 + لــــــــو2 (25/7)^2
= لــــــــو 2 196 – لـــــــو 2 625 + لــــــــو 2 25/7
= لـــــــــو 2 (196×625) /( 625 × 49 ) = لــــــــو2 4 = لــــــو2 (2)2 = 2 لـــــو2 2 = 2
مثال (2)
بدون استخدام الآلة اثبت أن :
2 لـــــو3 15 + لـــــو3 7/3 – لــــو3 5 – لــــو3 35 = 2 لــــــــو5 جذر 5
الحل
الأيمن = 2 لــــــــو3 15 + لــــــو3 7/3 – لــــــو3 5 – لــــــــو3 35
= لــــــــو3( 15)^2+ لــــــــو3 7/3 – لـــــــو3 5 – لـــــــو3 35
= لــــــــو3 225 + لــــــــو3 7/3 – لـــــــو3 5 – لـــــــــو3 35
= لـــــــــو3(225×7)/( 5× 3×35) = لــــــــو3 3 = 1
الأيسر = 2 لـــــــــو5 جذر 5 = لـــــــــــو5 ( جذر 5 )^ 2 = لـــــــو5 5 = 1 = الأيمن
مثال (3)
إذا كان : 3 لـــــــو س + 4 لــو ص – لــــــو س ص^ 2 = 2 ( لـــــو 2 + لـــــو 3 )
اثبت أن : س ص = 6
الحل
3 لـــــــو س + 4 لــو ص – لــــــو س ص^ 2 = 2 لـــــو 2 + 2 لـــــو 3
لـــــــو س^3 + لــو ص^4 – لــــــو س ص^ 2 = لـــــو( 2)^2 + لـــــو( 3 )^2
لــــــــو (س^3 × ص^4 ) / س ص^ 2 = لــــــــو 4 + لــــــــــو 9 = لــــــــو 4 × 9
لــــــــــــــــــــــو س2 ص2 = لــــــــــو 36
س2 ص2 = 36 بأخذ الجذر التربيعي للطرفين
س ص = 6
فضل الذكر
قال صلي الله عليه وسلم " ألا أنبأكم بخير أعمالكم ، وأزكاها عند مليككم ، وأرفعها فى درجاتكم ، وخير لكم من إنفاق الذهب والورق وخير لكم من أن تلقوا عدوكم فتضربوا أعناقهم ويضربوا أعناقكم ؟ قالوا : بلى . قال ذكر الله "
الترمذي ، بن ماجه .
قال صلي الله عليه وسلم "مثل الذى يذكر ربه والذى لا يذكر ربه مثل الحى والميت "
البخارى

تذكر أن
لـــــوأ ص =س
ص = (أ)^ س
مثال (4)
اوجد مجموعة حل المعادلة : لــــــــــو س ( س + 6 ) = 2
الحل
لــــــــــو س ( س + 6 ) = 2
س + 6 = س^2
س2 – س – 6 = 0
( س – 3 ) ( س + 2 ) = 0
س = 3 & س = – 2 مرفوض
مجموعة حل المعادلة = { 3 }
مثال (5)
اوجد مجموعة حل المعادلة : لــــــــــو ( س2 + 9 س ) = 1
الحل
لــــــــــو ( س2 + 9 ) = 1
س2 + 9 س = (10)^1
س2 + 9س – 10 = 0
( س – 1 ) ( س + 10 ) = 0
س = 1 تحقق المعادلة س = – 10 تحقق المعادلة
مجموعة حل المعادلة = { 1 ، – 10}
مثال (6)
اوجد مجموعة حل المعادلة : لـــــــو4 س + لـــــــو4 ( س + 12 ) = 3
الحل
لــــــــــــــــو 4 س ( س + 12 ) = 3
لــــــــــــــو 4 ( س2 + 12 س) = 3
س2 + 12 س = 4 3 = 64
س2 + 12س – 64 = 0
( س – 4 ) ( س + 16 ) = 0
س = 4 & س = ــ 16 مرفوض
مثال (7)
اوجد مجموعة حل المعادلة : لــــــــــو 4 لــــــــو 2 لـــــــــو 3 س^8 = 1
الحل
لــــــــــو 4 لــــــــو 2 لـــــــــو 3 س^8 = 1
لــــــــو 2 لـــــــــو 3 س8 = 4 ^1 = 4
لـــــــــو 3 س8 = (4)^2 = 16
س8 = (3)^ 16
س8 = (3)^(2 ×8 )= ( (3)^2 )^8
س8 = ( (3)^2 )^8
س = (3)^ 2 = 9
مجموعة الحل = { 9 }
تذكر أن
لـــــــو م س = لــــــوم ص
س = ص

مثال (6)
اوجد مجموعة حل المعادلة :
لــــــــــو 3 ( س – 1 ) + لــــــــو 3 ( س + 1 ) = 3 لــــــــو 3 2
الحل
لــــــــــو 3 ( س – 1 ) + لــــــــو 3 ( س + 1 ) = لــــــــو 3 (2)3
لــــــــــو 3 ( س – 1 )( س + 1 ) = لــــــــو 3 8
لــــــــــو 3 ( س2 – 1 ) = لــــــــو 3 8
س2 – 1 = 8
س2 – 9 = 0
( س – 3 ) ( س + 3 ) = 0
س = 3 س = – 3 مرفوض
م . ح = { 3 }

مثال (7)
اوجد مجموعة حل المعادلة : لـــو( س – 1 )^ 3 – 3 لـــو( س – 3 ) = لـــو 8
الحل
لــــــــــو ( س – 1 )^3 – لــــــــو ( س – 1 )^3 = لــــــــو 8

لــــو( س – 1 )^3 / ( س – 3 )^3 = لـــــــــو 8

( س – 1 )^3 / ( س – 3 )^3 = 8 بأخذ الجذر التكيعبيي للطرفين

( س – 1 ) / ( س – 3 ) = 2

س – 1 = 2س – 6
س = 5
م.ح = { 5 }

مثال (7)
اوجد مجموعة حل المعادلة :
لــــــــــو ( س – 2 ) + لــــــــو ( س – 3 ) = 1 – لــــــــو 5
الحل
لــــــــــو ( س – 2 ) + لــــــــو ( س – 3) = لــــــــو 10 – لــــــــو 5
لــــــــــو ( س – 2 )( س – 3) = لــــــــو10/5 = لــــــــــــو 2
لــــــــــو ( س^2 – 5 س + 6 ) = لــــــــو 2
س^2 – 5 س + 6 = 2
س^2 – 5 س + 4 = 0
( س – 4 ) ( س – 1 ) = 0
س = 4 أ، س = 1 مرفوض
م . ح = { 4 }
تذكر أن

( 1 )لـــــــــــــوم س^ ن / لـــــــــــــوم س^ ك = ن لـــــــــــوم س / ك لـــــــــــوم س = ن / ك


( 2 ) لـــــــــــــوم125 / لـــــــــــــوم5 لا يساوي 125 / 5


مثال (
إذا كان لـــــــو س / لو 5 = لو 36 / لو 6 = لو 64 / لو ص فاوجد قيمة س ، ص ؟
الحل
لـــــــو س / لو 5 = لو 36 / لو 6
لـــــــو س / لو 5 = لو 6^2 / لو 6
لـــــــو س / لو 5 = 2لو6/ لو6 = 2
لـــــــو س / لو 5 = 2
لــــــــــــــو س = 2 لــــــــــــو 5
لــــــــــــــــــو س = لـــــــــــــو (5)^2 = لـــــو 25
س = 25
لو 64 / لو ص = 2
2 لـــــــــو ص = لــــــــــو 64
لـــــــــــــو ص^2 = لــــــــــــــــو 64
ص^2 = 64
ص = 8
مثال (9)
اوجد مجموعة حل المعادلة : لـــــــــــو2 س =( 2 لو 9 × لو 8 ) / (لو 3 × 3 لو 2 )
الحل
لـــــــــــو2 س = ( 2لـــــو 3^2× لــــــو 2^3 ) / (لو 3 × 3 لو 2 )=
لـــــــــــو2 س =( 4لـــــو 3 ×3 لــــــو 2 ) / (لو 3 × 3 لو 2 )=
لــــــــــــو2 س = 4
س = (2)^4
س = 16
مثال (10)
اوجد قيمة : لـــــــو7 لـــــــو3 81 / لـــــــو7 32
الحل
لـــــــو7 لـــــــو3 81 / لـــــــو7 32 = لـــــــو7 لـــــــو3 (3)^4 / لـــــــــو 7 32
= لـــــــو7 4× لـــــــو3 3 / لـــــــو 7 32 = لـــــــو7 4 × 1 / لـــــــو7 32 =
2 لـــــــــو7 2 / 5 لـــــــــو7 2 = 2/5

تذكر أن
• ( لـــــــــــــوم س)^2 = لـــــــــــوم س × لـــــــوم س

• لـــــــــــــوم س^2 = 2 لـــــــــــوم س

• ( لـــــــــــــوم س)^2 ≠ لـــــــــــوم س^2


مثال (11)
اوجد مجموعة حل المعادلة : ( لـــــــــــو س )^ 2 ــ لــــــــــــو س^3 = 4
الحل
( لـــــــــــو س )^ 2 ــ لــــــــــــو س^3 = 4
( لـــــــــــو س )^ 2 ــ 3لــــــــــــو س – 4 = 0
( لــــــــــو س – 4 ) ( لـــــــــو س + 1 ) = 0
لــــــــــــو س = 4
لـــــــــــــو س = ــ 1
س = 10^4= 10000
س = 10 ^- 1 = 0.1
مجموعة حل المعادلة = { 10000 ، 0.1 }
مثال (12)
اوجد مجموعة حل المعادلة : ( لـــــــــــو س + 1 ) لــــــــــــو س/ 10 = 3
الحل
( لـــــــــــو س + 1 ) لــــــــــــو( س / 10 )= 3
( لـــــــــو س + 1 ) ( لــــــــــو س – لــــــــو 10 ) = 3
( لـــــــــو س + 1 ) ( لــــــــــو س – 1 ) = 3
( لـــــــــو س ) ^2 – 1 = 3
( لـــــــــو س )^ 2 – 4 = 0
( لــــــــــو س – 2 ) ( لــــــــو س + 2 ) = 0
لــــــــــــو س = 2
لــــــــــو س = – 2
س = (10)^2 = 100
س = (10)^ ــ 2 = 0.01
م. ح = { 100 ، 0.01 }
مثال (13)
اوجد مجموعة حل المعادلة : لـــــــــــو س = [( لـــــــو 5 )^2 ــ لـــــــو 125] / لـــــــو 0.005
الحل
لـــــــــــو س = [( لـــــــو 5 )^2 ــ لـــــــو 5^3] / [لـــــــو 5 ــ لـــــــو 1000 ]

لــــــــــــو س = [( لـــــــو 5 )^2 ــ 3 لـــــــو 5] / لـــــــو 5 ــ 3

لـــــــــو س =لـــــــو 5 ( لـــــــو 5 ــ 3 ) / (لـــــــو 5 ــ 3) = لـــــــــــــو 5

لـــــــــو س = لـــــــو 5
س = 5

مثال (14)
إذا كان لــــــــو س 5 = 0.5 فاثبت أن :
[ لــــــــو5 س^2 – لـــــــــو 4س ] / [لــــــــو3 ( 3س + 6 ) ] = 1/2

الحل
لــــــــو س 5 = 0.5
س^ 0.5 = 5
س = 25
لــــــــو5 س^2 – لـــــــــو 4س / لــــــــو3 ( 3س + 6 ) =
[لــــــــو5 (25)2 – لـــــــــو 4× 25] / لــــــــو3 ( 3× 25 + 6 )
[ لــــــــو5 (5)4 – لـــــــــو 100 ]/ لــــــــو3 81
[4 لــــــــو5 5 – 2لـــــــــو 10 ] / 4 لــــــــو3 3
(4 - 2 ) / 4 = 2 / 4 = 1 / 2
مثال (15)
اوجد مجموعة حل المعادلة : (^ س+ 1 = (9)^ س – 2
الحل
بأخذ اللوغاريتم للطرفين نجد أن
لـــــــــــو (^ س+ 1 = لــــــــــــو (9)^ س – 2
( س + 1 ) لــــــــــــو 8 = ( س – 2 ) لـــــــــو 9
س لــــــــــو 8 + لــــــــــو 8 = س لــــــــــو 9 – 2لـــــــــو 9
س لــــــــــو 8 – س لــــــــــو 9 = ــ لــــــــــو 8 – 2لـــــــــو 9
س ( لــــــــــو 8 – لــــــــــو 9 ) = ــ لــــــــــو 8 – 2لـــــــــو 9
س = ( لــــــــــو 8 – لــــــــــو 9 ) / (ــ لــــــــــو 8 – 2لـــــــــو 9)
باستخدام الآلة الحاسبة
س = 54.9645
مثال (16)
إذا كان : 2 ×5 ^ص = 5 × 2 ^ص + 2 فاوجد قيمة ص لأقرب رقم عشرى
الحل
لــــــــــو ( 2 ×5 ^ص ) = لـــــــــو ( 5 × 2 ^ص + 2 )
لـــــــــو 2 + لــــــــــو 5 ^ص = لـــــــــــو 5 + لـــــــــو 2 ^ص + 2
لــــــــو 2 + ص لـــــــــو 5 = لـــــــــو 5 + ( ص + 2 ) لــــــــو 2
لــــــــو 2 + ص لــــــــو 5 = لــــــــو 5 + ص لــــــــو 2 + 2لــــــــو 2
ص لــــــــو 5 ــ ص لــــــــو 2 = لــــــــو 5 + 2لــــــــو 2 ــ لــــــــو 2
ص ( لــــــــو 5 ــ لــــــــو 2 ) = لــــــــو 5 + لــــــــو 2
ص = ( لــــــــو 5 + لــــــــو 2 ) / ( لــــــــو 5 ــ لــــــــو 2 )
ص = 2.5
مثال (17)
إذا كان : 3 ^(7 + 2 س) = 18.1 فاوجد قيمة س لأقرب رقمين عشرين
الحل
لــــــــــو [3 ^(2س + 7 ) ] = لـــــــــو 18.1
( 2س + 7 ) لو 3 = لــــــــــــــو 18.1
2س لــــــــــــو 3 + 7 لـــــــــو 3 = لــــــــــــو 18.1
2س لــــــــو 3 = لــــــــــو 18.1 – 7 لــــــــــــو 3
س = ( لــــــــــو 18.1 – 7 لــــــــــــو 3 ) / 2 لو 3
س= ــ 2.18

مثال(18)
إذا كان : لـــــوب س + لـــــوب ص – 2لــــــــوب ( س + ص ) / 2 = صفر

أثبت أن س – ص = 0
الحل
لـــــوب س + لـــــوب ص – 2لــــــــوب ( س + ص ) / 2 = صفر

لـــــوب س + لـــــوب ص – لــــــــوب [ ( س + ص ) / 2 ]^2= صفر

لـــــوب س + لـــــوب ص – لــــــــوب [ ( س2 + 2س ص + ص2 ) / 4 ] = صفر

لـــــوب ( س × ص × 4 ) / ( س2 + 2س ص + ص2 ) = 0

( س × ص × 4 ) / ( س2 + 2س ص + ص2 ) = 1

س2 + 2س ص + ص2 = 4 س ص
س2 + 2س ص + ص2 – 4 س ص = 0
س2 – 2س ص + ص2 = 0
( س – ص )( س – ص ) =0
س – ص = 0 #
مثال(19)
إذا كان ص = أ^ لــــــــوأ س 0000000فاثبت أن ص = س ومن ذلك أوجد قيمة 2^ لـــــــو2 5
الحل
ص = أ^لـــــــوأ س
بوضع لــــــــوأ س = ع

ص =أ^ع
لــــــــــو أ ص = ع
لــــــــــو أ ص = لــــــــوأ س
ص = س

2^لـــــــو2 5 = 5

مثال(21)
أثبت أن : لـــــــــوس ص = لــــــــــوب ص × لــــــوس ب
ومن ذلك حل المعادلة : لـــــــــــــــو9 هـ = لــــــــــو3 4
الحل
بوضع : لـــــــــوس ص = ع
ص = س^ع (1)
بوضع : لــــــــــوب ص = ن
ص = ب^ن (2)
بوضع : لــــــــــوس ب = ك
ب =س^ك (3)
من (1) & (3) & (2) نجد أن
س^ع = (س^ك)^ن
الأساس = الأساس
إذن الأس = الأس
ع = ك × ن
لـــــــــوس ص = لــــــــــوب ص × لــــــوس ب
لـــــــــــــــو9 هـ = لــــــــــو3 4
لـــــــــو9 هـ = لــــــــــو9 4 × لــــــو3 9
لـــــــــو9 هـ = لــــــــــو9 4 × لــــــو3 23
لـــــــــو9 هـ = لــــــــــو9 4 × 2 لــــــو3 3
لـــــــــو9 هـ = ( لــــــــــو9 4 )× 2 = 2 لــــــــــو9 4 = لــــــو9 24 = لــــــو9 16
لـــــــــو9 هـ = لــــــــــو9 16
هـ = 16
مثال (22)
حل المعادلة : لـــــــــــــــو9 هـ = لــــــــــو3 4
الحل
لـــــــــــــــو9 هـ = لــــــــــو3 4 = ك
لــــــــــو3 4 = ك
3^ك = 4 0000000000000000(1)
لـــــــــــو9 هـ = ك
9^ك= هـ
( 3^2)^ك = هـ
(3ك)^2 = هـ 00000000000000(2)
من (1) فى (2)
هـ = (4)^2
هـ = 16
مثال(23)
إذا كانت س = لــــو 5 ÷ لـــــــو 3 فاوجد قيمة المقدار 9^س – 3 ^ ( س + 1 )+ 2
الحل
س = لو 5/ لو 3
س لــــــــو 3 = لــــــــو 5

لـــــــــو 3^س = لــــــــو 5
3^س= 5
قيمة المقدار : 9^س – 3 ^(س + 1 )+ 2 = (3^2)^س – 3 ^س × 3 + 2
= (3^س)2 – 3 ^س × 3 + 2= (5)2 – 5 × 3 + 2
= 25 – 15 + 2 = 12




تم بحمد الله
أسأل الله أن ينفع به ( لا تنسونا من صالح دعائكم )

مع تمنياتي لكم :
بــالــتــوفـيـق والــنــجــاح الـــبـــاهــــــــــر